效用理论与凯利准则

问题：有一个盒子，你可以把钱放进去，50％概率金额翻50倍，50％概率钱会消失，你会放多少钱进去？

数学期望

数学期望可以衡量每次投资的平均回报，数学期望越大，表示一次性能赚的钱就越多。于是我们可以计算一下这个问题下的数学期望，设每次投入的资金为 $x$ ，回报资金为 $y$ ，则数学期望为：

$$E[y]=50\%\times 50x+50\%\times 0=25x$$

净收益 $y-x=24x$ 。

因此，投入越多，回报越大，从这个角度看，应该把全部的钱都投进去。

效用理论

但是，把全部的钱都投进去意味着一旦失败，就会输得一干二净。人会有畏惧风险的心理，如何从数学上刻画这一点？

效用理论提出，人们不仅关注金钱的期望值，还关注金钱带来的效用（满足感或幸福感）。效用理论用一个函数概括效用和金钱之间的关系，设金钱为 $x$ ，效用为 $U(x)$ 。不同的人有不同的 $U(x)$ ，这反映了不同的投资心理。

效用与金钱数量之间的关系往往是非线性的。例如心理学研究得出的边际效用递减（即钱越多，每增加一元带来的效用增加越少），就可以用对数效用函数来表示： $U(x)=\ln x$ 。

当效用函数为凹函数时，代表风险厌恶的投资心理。对数效用函数体现了畏惧风险的特点。

在效用理论下，决策者不直接最大化期望收益 $E[W]$ ，而是最大化期望效用 $E[U(W)]$ 。假设当前的资金为 $W$ ，向盒子里投入的金额为 $x$ ，那么效用的期望为

$$\begin{array}{rl}E[U]& =50\%\times \ln (W-x+50x)+50\%\times \ln (W-x)\\ & =\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1}{49}W+x\right)\left(W-x\right)+\ln 7\end{array}$$

不难看出，当 $\frac{1}{49}W+x=W-x$ 时，即 $x=\frac{24}{49}W$ 时，效用达到最大值。也就是说，应该向盒子里投入约 49% 的钱。

凯利准则

将目光转向更一般的问题。若盒子里的钱以 $p$ 的概率翻 $(1+b)$ 倍， $(1-p)$ 的概率消失，那么该投入多少钱呢？

设投入金额占所有本金 $W$ 的比例是 $f$ ，那么对数效用函数的期望为

$$\begin{array}{rl}E[U]& =p\ln (W+bfW)+(1-p)\ln (W-fW)\\ & =p\ln (1+bf)+(1-p)\ln (1-f)+\ln W\end{array}$$

求导得

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}E[U]}{\mathrm{d}f}& =\frac{pb}{1+bf}+\frac{1-p}{1-f}\\ & =\frac{pb+(1-p)-bf}{(1+bf)(1-f)}\end{array}$$

所以当 $pb+(1-p)-bf=0$ 时，效用函数期望最大，此时对应的 $f$ 值为

$$f^{\ast }=\frac{pb-(1-p)}{b}$$

这就是投资学中的凯利准则公式。

凯利准则的一般表述是这样的：

假设有一个赌博或投资机会，其规则如下：

1. 获胜概率为 $p$ 。
2. 失败概率为 $q=1-p$ 。
3. 净赔率为 $b$ ，即获胜时收回本金，并额外获得 $b$ 倍本金的金钱。
4. 1. 例如，当 $b=49$ 时，下注 1 元，获胜后得到 $1+b=50$ 元。
5. 2. 失败则失去本金，得到 0 元。

目标是找到一个最优下注比例 $f^{\ast }$ （占当前总资金的比例），使得长期增长率最大化。

长期增长率的对数称为期望对数增长率：

$$\begin{array}{rl}\ln G& =\underset{n\to \infty }{\lim }\ln \sqrt[n]{\frac{W_n}{W_0}}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\ln \left((1+bf{)}^k(1-f{)}^{n-k}\right)\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{k}{n}\ln (1+bf)+\frac{n-k}{n}\ln (1-f)\right)\end{array}$$

按照大数定律， $\frac{k}{n}\to p$ ，于是

$$\ln G=p\ln (1+bf)+(1-p)\ln (1-f)$$

这就是对数效用函数！从这个角度看，对数效用函数不仅反映了风险厌恶的心理特性，还反映了资金的投资潜力，短期的目光和长远的视角在这里得到统一。